Teorema binomial

Dalam matamatika bidang aljabar elementer, teorema binomial adalah rumus penting nang mambariakan ekspansi atawa pangkat dari penjumlahan antara dua variabel. Versi nang paling sederhana menyambat bahwa:

Koefisien dari teorema binomial dapat dilihat pada segitiga pascal dan ditentukan menggunakan aturan kombinasi.

Gasan setiap bilangan riil atawa kompleks x dan y, serta barataan bilangan bulat taknegatif n. Koefisien binomial nang muncul dalam persamaan (1) kawa didefinisikan dalam bentuk fungsi faktorial n!:

Gasan contoh, gasan 2 ≤ n ≤ 5:

Lihati bahwa:

  1. Pangkat dari bagarak turun dimana pada suku nang pertama dimulai lawan n () wan pada suku terakhir sama dengan 0 ().
  2. Gasan pangkat dari berlaku sebaliknya dimana pada suku pertama sama dengan 0 () wan pada suku terakhir sama dengan n ().

Gasan binomial nang mamakai pengurangan, teorema binomial kawa diterapkan dengan tanda nang balawanan pada suku berikutnya:

SejarahSunting

Paristiwa-paristiwa khusus tarkait teorema binomial nang dikatahui sejak zaman kuno diikhtisarkan barikut ngini:

Abad ka-4 SM matematikawan Yunani Euklides manyambat kasus khusus teorema binomial hagan eksponen 2.[1][2] Ada bukti bahwa teorema binomial hagan kubus sudah dikatahui pas abad ka-6 di India.[1][2]

Koefesien binomial, nang kaya jumlah kumbinasi nang manampaiakan banyak cara hagan mamilih k ubjik matan n tanpa panggantian, sudah manjadi parhatian urang-urang Hindu kuno. Referensi paling pamulaan nang dikatahui manganai parmasalahan kumbinasi ngini adalah Chandaḥśāstra karya panulis Hindu, Pingala (sakitar 200 SM), nang mamuat suatu mitude hagan sulusinya.[3]:230 Saikung panaliti bangaran Halayudha matan abad ka-10 M manjalasakan manganai mitudi ngini manggunaakan nang wayahini dipinandui lawan ngaran segitiga Pascal.[3] Haratan abad ka-6 M, matematikawan Hindu mungkin sudah mangatahui cara manunjukkannya dalam sabuting parsamaan  ,[4] wan suatu pernyataan nang jelas manganai aturan ngini kawa ditamuakan dalam naskah abad ka-12 Lilavati karya Bhaskara.[4]

Teorema binomial nang sama kawa ditamuakan pada hasil tulisan matematikawan Persia abad ka-11, Al-Karaji, nang manggambarakan pola sagitiga matan koefisien binomial.[5] Inya jua mambarii juga pembuktian matematika matan teorema binomial wan sagitiga lawan mamakai sabuting bantuk sadarhana matan induksi matematika.[5] Penyari wan matematikawan Persia Umar Khayyām mungkin sudah akrab lawan rumus-rumus lawan pangkat nang tatinggi, maskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.[2] Ekspansi binomial lawan derajat halus sudah dikatahui ulih matematikawan abad ka-13 bangaran Yang Hui[6] wan Zhu Shijie.[2] Yang Hui mahubungakan mitudi ngitu lawan naskah nang jauh labih pamulaan baasal matan abad ka-11 tulisan Jia Xian, maskipun tulisan-tulisannya wayahini jua hilang.[3]:142

ReferensiSunting

  1. ^ a b Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem". Wolfram MathWorld. 
  2. ^ a b c d Coolidge, J. L. (1949). "The Story of the Binomial Theorem". The American Mathematical Monthly. 56 (3): 147–157. doi:10.2307/2305028. 
  3. ^ a b c Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). A history of Chinese mathematics. Springer. 
  4. ^ a b Biggs, N. L. (1979). "The roots of combinatorics". Historia Math. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. 
  5. ^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
  6. ^ Landau, James A. (1999-05-08). "Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle" (mailing list email). Archives of Historia Matematica. Diakses tanggal 2007-04-13.